PROBLEME DE GYROSCOPIE

ou

PREPARATION A UN TP

	CONTENU : Mis à jour décembre 2000, sept 2011 MONTAGE GYROSCOPIQUE MOUVEMENTS ET MESURES

Cette étude pourrait constituer une préparation à une démonstration de gyroscopie si le matériel existait ou tout simplement un problème très pédagogique d'application des résultats du cours de gyroscopie. Voir notations et résultats dans: cours 1 + cours 2.

Nous considérons que le sol du laboratoire est fixe ( non prise en compte de la rotation terrestre ) 

I DESCRIPTION DU SYSTEME :

 Le montage comprend un bâti fixe, lié au laboratoire auquel on attache pour les besoins de l'expérience un repère galiléen O X1Y1Z1 .

Le système comporte 3 solides dont les notations sont celles du cours.

S1 est l'armature externe classique, légère et articulée sur le bâti, en A et A' par des paliers sans frottement.

S1 peut tourner par rapport au bâti fixe, le paramètre de repérage est l'angle de précession Y mesuré positivement autour de l'axe Z1.

Y = ( X1,t) dont la lecture est réalisée sur un appareillage lié au bâti, soit un cadran ou un capteur électronique .

S2 est l'armature interne du montage de cardan, légère , articulée sur S1 dans des paliers sans frottement en B et B' et pouvant tourner d'un angle a autour de l'axe de mesure x2 . 

a = ( t ,z2 ) = ( Z1, y2 ) dont la lecture se fait sur un cadran lié à S1.

S3 s'appelle la toupie (ou rotor) tourne en C et C' dans des paliers supposés parfaits , par rapport à S2

La vitesse angulaire est grande et vaut W mesurée positivement autour de l'axe Z2.

En réalité, vue la rotation élevée, un couple de frottement subsiste et un moteur électrique dont le stator est lié à S2 entraîne le rotor au démarrage et maintient la vitesse angulaire constante en compensant le couple de frottement Cf par un couple moteur Cm ( Cf + Cm = 0) .

Un ressort de raideur k a une extrémité fixée sur S1 et l'autre attachée à S2 sur l'axe x2. Il exerce une action qui, vu le montage assez particulier, crée en particulier un couple sur l'axe égal à - k sina x2.

Un ensemble de 2 masselottes, de masse totale m, amovibles à loisir et liées à S1, permettent notamment de créer un couple sur S1, d'axe Z1, dont elles sont distantes d'une longueur d.

NOTATIONS:

On posera dans les calculs à venir

 B = mgd : appelé le balourd

q = a + p/2 l'angle d'Euler classique de nutation. En pratique, a est mesuré, mais c'est q qui apparaît dans les équations.

H = CW : le moment cinétique principal du gyroscope. C est le moment d'inertie axial du gyro S3.

w = : une pulsation qui apparaîtra dans les calculs.

a_o , y_o : les conditions initiales de position.

NB 1 : Dans un premier temps, plus mathématicien que physicien, vous vous attacherez à appliquer scrupuleusement les équations de la gyroscopie, en respectant les notations identiques à celles du cours.

NB 2 : Dans un deuxième temps, vous résoudrez le problème en vous montrant plus physicien que mathématicien et vous apercevrez que tout est finalement assez simple. L'application de la règle du parallélisme vous rendra de grands services dans les interprétations physiques des mouvements.

QUESTIONS

1°) Dans le cadre de l'approximation gyroscopique totale, écrire avec précision , le moment en O, Mo(Fex/S3) des forces extérieures , reçu par le rotor S3. Y a t-il une configuration particulière? Si oui laquelle?

2°) Ecrire les équations différentielles que doivent vérifier les paramètres a et y dans l'approximation gyroscopique totale. On ne cherchera pas à les intégrer sous cette forme exacte.

3°) EXPERIENCE 1 OU CALCUL 1:

Les masselottes sont retirées, et les conditions initiales quelconques, avec Yo quelconque et qo voisin de p/2 (ou encore ressort au voisinage de l'équilibre, position dite détendue, soit a voisin de 0).

 a) Pourquoi cette hypothèse sur ao?

b) Décrire le mouvement de deux manières: d'abord en étudiant les équations du mouvement, puis en appliquant les règles de comportement plus physique d'un gyroscope.

Tracer la courbe dy/dt = f[tg(a)], pour a variant de 0 à 70°.

NB: Ce résultat peut être vérifié en TP, en enregistrant la vitesse angulaire de rotation de l'armature externe S1 autour de Z1, ou plus simplement par une lecture et un chronomètre.

Ce mouvement , perpétuel en théorie, est naturellement perturbé par les frottements dans les paliers. En particulier , en supposant qua les paliers A et A' ne sont pas parfaits, indiquer l'évolution du système et l'origine de l'énergie qui est dissipée dans les paliers.

4°) EXPERIENCE 2 OU CALCUL 2:

 Les masselottes sont maintenant présentes. Les angles sont supposés petits pour respecter les conditions dans lesquelles les équations de la gyroscopie ont été établies.

Les conditions initiales sont

a( t=0 ) = ao (voisin de 0) et y( t= 0) = yo (voisin de 0)

 a) Déterminer complètement la solution en fonction du temps. Montrer que les deux mouvements en a et y sont en quadrature de phase. 

b) Vérifier que le rapport l = y_max / a_max  est indépendant des conditions initiales. 

c) Appelant T la période du mouvement montrer que la quantité m.T²  est indépendante de la masse m.

d) APPLICATION NUMERIQUE: d=6.5cm, m=0.1 kg, T=24.2 s y_max=13.2° a_max=14.8°, W = 3000 tours/mn.

 Calculer la raideur k du ressort en fonction de m, d, l puis numériquement, et de même donner le moment d'inertie C du rotor.

SOLUTION

1°) MOMENT DES FORCES RECU PAR S3

Utilisons le résultat du cours, à savoir que lorsqu'un solide S3 est suspendu par un montage à armatures sans masse S1 et S2 et paliers parfaits , il reçoit un moment global Mo(Fex/S3), comprenant:

Les propres forces extérieures connues agissant sur S3 comme par exemple le poids. 

Les actions de liaison se contact de S2 sur S3 au niveau des paliers C et C' de suspension de S3, ce moment est d'ailleurs normal à l'axe z3, actions qui transmettent une parie des efforts reçus par S1 et S2 .

Le moment de cet ensemble d'efforts a été établi avec précision, dans le cadre de l'approximation gyroscopique ( Vitesse de rotation élevée ) et vaut:

S2+S3, l'élément sensible, reçoit comme forces extérieures connues : la pesanteur de moment nul en O, et l'action du ressort agissant directement sur S2 et donc extérieurement à S2+S3. 

NB: même si l'on inclut les actions des paliers B et B' sur S2, cela ne change rien au résultat final pour S3 car ce moment de liaison est normal à x2. C'est là toute l'importance des paliers parfaits.

Considérons maintenant l'ensemble S1+S2+S3. Il reçoit de l'extérieur comme forces autres que celles de liaison ( avec la même remarque que ci-dessus ), une seule action supplémentaire qui compte celle des masselottes. Par contre il disparaît l'action du ressort qui devient interne au système.

Un calcul simple montre que la projection du moment sur l'axe Z1 ( couple pendulaire ) du poids des masselottes se réduit à :

Ainsi S3 reçoit un moment global et exact valant:

NB: L'équation ci-dessus montre à l'évidence que la configuration a = 90° notamment est une position singulière, puisque mathématiquement le moment devient infini. Physiquement cela n'a pas de sens, mais prouve que lorsque a se rapproche de 90°, le moment devient très grand et l'hypothèse de gyroscopie, supposant que les précessions angulaires et les accélérations angulaires restent petites pour justifier l'approximation gyroscopique totale, n'est plus valable.

Classiquement en gyroscopie cette configuration correspond à l'alignement de l'axe de rotation gyroscope sur l'axe de rotation de l'armature externe S1. Nous avons souligné ce point dans le cours

 2°) EQUATIONS DIFFERENTIELLES VERIIEES PAR q et y :

 Pour écrire les équations de l'approximation gyroscopique totale, nous pouvons procéder de 2 façons :

a) Utiliser la relation importante de gyroscopie:

Relation qui résulte tout simplement du théorème du moment cinétique appliqué à S3 en O.

 Les conditions d'application à respecter étant:

O fixe dans le repère galiléen ou O confondu avec le centre d'inertie de S3.

Des armatures de cardan légères et des paliers sans frottement

Un rotor S3 tournant à vitesse élevée

P désigne l'extrémité du moment cinétique mené à partir de O, on a donc OP = CW

Calculons donc la vitesse du point P, à l'aide de la rotation W de S3 puisque P est lié à S3.

Par identification et projection sur les axes X2 et Y2 il vient les équations du mouvement relativement simples et du premier ordre

La simplicité des équations est étonnante, révélant ainsi l'avantage de l'approximation gyroscopique.

3°) CALCUL 1 ou EXPERIENCE 1 :

a) Hypothèse sur ao

Nous supposons au départ ao petit, afin de rester dans le cadre de l'approximation gyroscopique où les mouvements sont supposés lents.

b) Description du mouvement

Tout d'abord les équations montrent que, lorsque la masse est enlevée, le balourd B est nul, l'angle a reste constant, ce qui constitue une surprise, le sens commun habituel nous amenant à prédire des oscillations dues au ressort. Il n'en est rien, le ressort restant dans sa configuration initiale. De plus la deuxième équation donne très simplement la loi de variation du paramètre y.

Cette loi est vérifiée sans conteste au laboratoire et fait remarquable, elle donne d'excellents résultats jusqu'à des valeurs très élevée de l'angle a, de l'ordre de 50°.

INTERPRETATION PHYSIQUE:

O peut expliquer le phénomène physique par une loi générale de comportement d'un gyroscope, à savoir que sous l'action d'un moment, son axe de rotation tend à s'aligner sur l'axe du moment (Tendance au parallélisme)

Dans le cas présent seul le moment du au ressort apparaît, or ce moment est porté par l'axe x₂, axe qui reste toujours orthogonal à z3. Donc l'axe du gyroscope qui tend à s'aligner sur x₂ ne pourra jamais le faire puisque cet axe x₂ fuit devant z₃ qui lui est constamment orthogonal. Ceci explique qu'on assiste à un mouvement mathématiquement perpétuel.

NB 1: En TP on peut faire preuve de bon sens et de raisonnement physiques, en essayant de montrer que l'existence de frottements mêmes faibles au niveau des paliers A et A' , conduit en appliquant la tendance au parallélisme à ramener l'angle a vers 0. Quant à savoir d'où vient l'énergie dissipée en chaleur dans les roulements, il suffit de chercher qui en possède au départ et il n'y a qu'un seul client: le ressort.

NB 2: En TP on peut montrer de même que la position a = p, en apparence est mathématiquement stable, mais en réalité instable à cause des frottements qui obligent le ressort à restituer de l'énergie et à revenir à son équilibre à 180° de la position de départ. On trouve là un excellent exemple d'une instabilité qui se produit lentement.

NB 3: Naturellement si l'on cherche l'origine de l'énergie vous la trouverez dans la réserve d'énergie constituée par l'énergie potentielle du ressort qui finit donc par se retrouver dans son état d'énergie minimale.

4°) CALCULS 2 ET EXPERIENCE 2 :

 a) Calcul complet de la solution (hypothèse des petits mouvements)

 Sous l'hypothèse petits angles, le système différentiel s'écrit simplement sous la forme suivante, linéaire à coefficients constants  

En éliminant par dérivation l'une des deux variables, il vient l'équation classique du second ordre , en a par exemple:

Avec les conditions initiales a(0) = ao , (da/dt)(0) = By_o/H d'après la première équation du système différentiel, l'intégration classique fournit :

b) Rapport l = y_max / a_max  est indépendant des conditions initiales. 

On constate sur les deux paramètres des mouvements sinusoïdaux de même pulsation propre w, et en quadrature de phase puisque le système différentiel montre, sans calcul, que lorsque un des paramètres est maximum l'autre est manifestement nul.

c) Quantité m.T² du mouvement indépendante de la masse m.

Calcul évident. La réponse est surtout un excellent moyen de vérification de la théorie du gyroscope, lors d'un TP en laboratoire

d) APPLICATION NUMERIQUE: d=6.5cm, m=0.1 kg, T=24.2 s y_max=13.2° a_max=14.8°, W = 3000 tours/mn.

 Le lecteur achèvera ces calculs, utiles lors d'un TP.

Guiziou Robert décembre 2000, sept 2011

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